MATEMÁTICAS BÁSICAS
MATEMÁTICAS BÁSICAS
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por {\displaystyle \mathbb {R} }
) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.e
Números racionales
Cada uno de los números enteros posee otro carácter que le sigue; de tal modo que al -1 le sigue el 0 y a éste el 1, sucesivamente, y a su vez entre cada uno de éstos existen infinitos números no racionales.
en las matemáticas se conoce el concepto de números racionales para hacer referencia a aquellos indicadores que permiten conocer el cociente entre dos números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).
Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2= 1).
Los números racionales pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos (excepto por cero). El resultado de estas operaciones será siempre otro número racional. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se aplica la Ley de Signos. La forma de concretar las operaciones variará de acuerdo a la existencia o ausencia de igual denominador en las fracciones.
Expresiones algebraicas
A veces usamos la notación y terminología de conjuntos para describir relaciones
matemáticas. Un conjunto es una colección de objetos de algún tipo, y
los objetos se denominan elementos del conjunto. Es frecuente que se usen las
letras mayúsculas R, S, T, . . . para denotar conjuntos, y las letras minúsculas
a, b, x, y, . . . representan elementos de conjuntos. En todo este libro, denota
el conjunto de números reales y denota el conjunto de enteros.
Dos conjuntos S y T son iguales, denotados por S " T, si S y T contienen
exactamente los mismos elementos. Escribimos S # T si S y T no son iguales.
En la tabla siguiente se indican notación y terminología adicionales.
Por lo general usamos letras cercanas al final del alfabeto, como x, y y z,
para variables y letras cercanas al principio del alfabeto, como a, b, y c para
constantes. En todo este texto, a menos que se especifique otra cosa, las variables
representan números reales.
Si los elementos de un conjunto S tienen cierta propiedad, a veces escribimos
S " {x: } y expresamos la propiedad describiendo la variable x en el
espacio después de los dos puntos. La expresión encerrada por las llaves y los
dos puntos se lee “el conjunto de toda x tal que . . . ,” donde completamos la
frase al expresar la propiedad deseada. Por ejemplo, {x: x ' 3} se lee “el conjunto
de toda x tal que x es mayor a 3.”
Para conjuntos finitos, a veces encerramos todos los elementos del conjunto
dentro de llaves. Así, si el conjunto T está formado por los primeros
cinco enteros positivos, podemos escribir T " {1, 2, 3, 4, 5}. Cuando describimos
conjuntos en esta forma, el orden empleado al hacer una lista de los elementos
es irrelevante, de modo que podríamos también escribir T " {1, 3, 2,
4, 5}, T " {4, 3, 2, 5, 1}, etcétera.
Si empezamos con cualquier colección de variables y números reales,
entonces una expresión algebraica es el resultado obtenido al aplicar sumas,
restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar raíces de esta colección.
Si números específicos se sustituyen por las variables en una expresión algebraica,
el número resultante se denomina valor de la expresión para estos
números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos
los números reales que pueden representar a las variables. Entonces, a menos
que se especifique otra cosa, suponemos que el dominio está formado por los
números reales que, cuando se sustituyan por las variables, no hacen que la
expresión carezca de sentido; es decir, cuando los denominadores no pueden
ser iguales a cero y las raíces siempre existen. En la siguiente tabla se dan dos
ilustraciones.
expresión fraccionaria
Una expresión fraccionaria es un cociente de dos expresiones algebraicas.
Como caso especial, una expresión racional es un cociente de dos polinomios
p y q. Como la división entre cero no está permitida, el dominio de
está formado por todos los números reales excepto los que hagan que el denominador
sea cero.
En casi todo nuestro trabajo nos ocuparemos de expresiones racionales en
las que tanto el numerador como el denominador son polinomios con sólo una
variable.
Como las variables de una expresión racional representan números reales,
podemos usar las propiedades de los cocientes de la sección , sustituyendo
las letras a, b, c y d con polinomios. La siguiente propiedad es de particular
importancia,
A veces describimos este proceso de simplificación al decir que un factor
común diferente de cero en el numerador y denominador de un cociente se
puede cancelar. En la práctica, por lo general mostramos esta cancelación por
medio de una diagonal sobre el factor común, como en la siguiente ilustración,
donde se supone que todos los denominadores son diferentes de cero.
Una expresión racional se simplifica, o se reduce a su mínima expresión,
si el numerador y denominador no tienen como factores comunes polinomiales
de grado positivo y no hay factores enteros comunes mayores que 1. Para
simplificar una expresión racional, factorizamos numerador y denominador en
sus factores primos y luego, suponiendo que los factores del denominador no
son cero, cancelamos factores comunes
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