ÁLGEBRA SUPERIOR
ÁLGEBRA SUPERIOR
NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES
En secundaria se estudiaron varios conjuntos numéricos a saber: el conjunto de los n´umeros naturales N, el conjunto de n´umeros enteros Z, el conjunto de numeros racionales Q y el conjunto de n´umeros reales R.
El primer conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · } se identific´o intuitivamente como el conjunto con el cual se hacen conteos de objetos. El conjunto de n´umeros enteros Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, · · · } se introduce como el conjunto que conten´ıa a los naturales y a los n´umeros negativos de estos. Este conjunto aparece ante la necesidad de explicar situaciones en las cuales intervienen alturas, temperaturas y otros fen´omenos en los cuales es necesario hablar de cantidades por encima o por debajo del valor cero. El conjunto de n´umeros racionales Q se introduce como el conjunto de n´umeros de la forma a b , a, b ∈ Z, b 6= 0.
DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
VECTORES
Se nos pedía resolver una serie de problemas cortos. Aunque para cada uno hay más de una manera de llegar a la solución, intentaré elegir la que me parece más didáctica en cada daso (si no has seguido el mismo método, asegúrate de que entiendes éste y que el resultado es el mismo que el tuyo):
1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1) y (-4,0).
Puesto que hemos visto cómo resolver sistemas de ecuaciones de manera rápida, hagamos justo eso. La ecuación de una recta cualquiera en el plano es y=mx+ny=mx+n. Por tanto, dado que la recta pasa por (1,1) debe cumplirse, sustituyendo xx e yy, que
1=m+n1=m+n
Pero la recta también pasa por (-4,0), luego haciendo lo mismo tenemos que
0=−4m+n0=−4m+n
No hay más que multiplicar la segunda ecuación por -1 para poder usar la reducción:
1=m+n1=m+n
0=4m−n0=4m−n
Sumando miembro a miembro,
1=5m1=5m
Luego m=15m=15. Si volvemos a la primera de las dos ecuaciones,
1=15+n1=15+n
Por lo tanto podemos despejar nn (me salto los pasos intermedios, que esto ya lo tienes superado):
n=45n=45
De manera que la ecuación completa de la recta que se pedía es y=x5+45y=x5+45. Una forma más elegante puede obtenerse multiplicando por 5, 5y=x+45y=x+4.
2. Calcula la pendiente y ordenada en el origen de la recta y4−3x2=12y4−3x2=12.
Para calcular la pendiente debemos despejar yy. Podemos hacerlo en dos pasos que a estas alturas deberían estar superados:
y=6x+2y=6x+2
Luego la pendiente de la recta es m=6m=6. Respecto a la ordenada en el origen, recuerda que es la ordenada en el punto de corte con el eje yy, el resultado de hacer x=0x=0 en la ecuación. En nuestro caso es tan fácil como mirar el valor de nn, claro está: n=2n=2.
3. Encuentra la ecuación de la recta paralela a y=−x+2y=−x+2 y que pasa por el punto (-2,-2).
Si es una recta paralela a ésa, tiene la misma pendiente, m=−1m=−1. Por tanto, nuestra recta misteriosa será algo así: y=−x+ny=−x+n. Pero ¿cómo calculamos nn? No hay más que sustituir las coordenadas del punto que nos dan, (-2,-2):
−2=−(−2)+n−2=−(−2)+n
En otras palabras, n=−4n=−4 y la ecuación de la recta que se pide es y=−x−4y=−x−4.
4. Encuentra el punto de corte de la recta y=2x−5y=2x−5 con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas.
En el primer caso debemos hacer y=0y=0, que es la ecuación del eje de abscisas. El resultado es 0=2x−50=2x−5, es decir que tenemos el valor de xx, x=52x=52. Así, el punto de corte que se pide es (52,0)(52,0).
En el segundo caso no hay más que mirar la ecuación, ya que en esta forma la ordenada en el origen es el término independiente del miembro de la derecha, -5. El punto de corte es, por tanto, (0,−5)(0,−5).
5. Las rectas y=x−1y=x−1 e y=−2x+1y=−2x+1 se cortan en un punto. Además, cada una de las dos corta al eje de abscisas en un punto determinado. Estos tres puntos de corte (ambas rectas entre sí y cada una con el eje de abscisas) definen un triángulo. Calcula el perímetro de ese triángulo.
MATEMÁTICA/MATRICES/CONCEPTO DE LA MATRIZ
Una matriz es un arreglo bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí.
Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz.
Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas.
Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas, o sea es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n ({\displaystyle m\times n}
) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño {\displaystyle m\times n} se representa como {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}
, donde {\displaystyle \mathbb {K} }
es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.
) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño {\displaystyle m\times n} se representa como {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}, donde {\displaystyle \mathbb {K} } es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.
Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño {\displaystyle 1\times n}
mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño {\displaystyle m\times 1}
.
mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño {\displaystyle m\times 1}.
A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, {\displaystyle m=n\,\!}
, se les llaman matrices cuadradas. y el conjunto se denota {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {K} )}
o alternativamente {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
.
, se les llaman matrices cuadradas. y el conjunto se denota {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {K} )} o alternativamente {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}.
Tamaño de una Matriz
La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas. Reiterando, la dimensión de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
O sea que si se anota {\displaystyle \mathbb {C} _{7\times 5}(\mathbb {R} )}
significa que se nombra {\displaystyle \mathbb {C} }
a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La letra {\displaystyle (\mathbb {R} )}
significa que sus elementos son números reales.
significa que se nombra {\displaystyle \mathbb {C} } a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La letra {\displaystyle (\mathbb {R} )} significa que sus elementos son números reales.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
Un sistema con {\displaystyle n}
incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.
De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
LINK PARA COMPRENDER MEJOR EL TEMA CON EJEMPLOS CON INTRUCCIONES
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero sí en los complejos y aun mejor.
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes.
En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros).
Los polinomios están formados por términos finitos. Cada término es una expresión que contiene uno o más de los tres elementos de los que están hechos: variables, constantes o exponentes. Por ejemplo: 9, 9x, 9xy son todos términos. Otra forma de identificar los términos es que se separan por sumas y restas.
Para resolver, simplificar, sumar o restar polinomios se deben agrupar los términos con las mismas variables como, por ejemplo, los términos con x, los términos con y y los términos que no tienen variables. Además, es importante fijarse en el signo que está antes del término que determinará si suma, resta o multiplica. Por ejemplo:
4x + 5y + 2xy + 2y +2
Se agrupan, suman o restan los términos con las mismas variables, o sea:
+4x = 4x
+5y +2y = 7y
+2xy = 2xy
+2 = 2
Resultado final es: 4x + 7y + 2xy + 2
Tipos de polinomios
La cantidad de términos que un polinomio tiene indicará qué tipo de polinomio es, por ejemplo,
Polinomio de un término: monomio, por ejemplo, 8xy.
Polinomio de dos términos: binomio, por ejemplo, 8xy - 2y.
Polinomio de tres términos: trinomio, por ejemplo, 8xy - 2y + 4.
Grado de polinomio
El grado de un polinomio de una sola variable es el mayor exponente. El grado de un polinomio con más de una variable es determinado por el término con el mayor exponente. Por ejemplo: el polinomio 3x+8xy+7x2y
3x: grado 1
8xy: grado 2 (x:1 + y:1= 2)
7x2y:grado 3 (x:2 + y:1=3)
Esto significa que el grado del polinomio es 3 siendo el mayor exponente de los tres términos que lo componen.
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